勘误

这个 $𝜙 0$ 的下标 $0$ 似乎是凭空出现的，此处应该是用下标 $0$ 表示考虑的是自由场，但是从（2.82）到（2.85）都没有使用下标，因此这一段应该将所有的 $𝜙$ 都理解为 $𝜙 0$ 。

笔记

⃗ 𝑝 \leftrightarrow - 𝑖 ⃗ \nabla \Rightarrow \sqrt 𝑚 2 - ⃗ \nabla 2 \leftrightarrow \sqrt 𝑚 2 + ⃗ 𝑝 2

\sqrt 𝑚 2 - ⃗ 𝑝 2 = 𝑚 \sqrt \sqrt \sqrt \sqrt \sqrt ⎷ 1 - (∣ ⃗ 𝑝 ∣ 𝑚) 2

记 $𝛿 = (∣ ⃗ 𝑝 ∣ 𝑚) 2$ ，在低速极限下

𝛿 = (∣ ⃗ 𝑝 ∣ 𝑚) 2 = (∣ ⃗ 𝑣 ∣ 𝑐) 2 \approx 0

\sqrt 𝑚 2 + ⃗ 𝑝 2 = 𝑚 \sqrt 1 + 𝛿 = 𝑚 (1 + 12 𝛿 + O (𝛿 2)) \approx 𝑚 + 𝑚 2 𝛿 = 𝑚 + ⃗ 𝑝 2 2 𝑚

而

𝑚 + ⃗ 𝑝 2 2 𝑚 \leftrightarrow 𝑚 - ⃗ \nabla 2 2 𝑚

因此此处的“low-energy/large-mass” 极限其实就是 $∣ ⃗ 𝑣 ∣ ≪ 𝑐$ 的非相对论极限。