变换涉及的对象

许多关于量子场论的教材里说到变换，基本上谈论的都是场和坐标的关系。比如 Tong 的讲义就有

we are dealing with an active transformation in which the field is truly shifted.

If we were instead dealing with a passive transformation in which we relabel our choice of coordinates.

其实类似描述里隐藏了一个未被明说的对象：时空。

如果只有场和坐标，那么 shift field 和 relabel coordinates 其实没有实质区别，只是同一种相对运动的不同视角。 把时空引入讨论以后，我们可以开始聊一聊主动与被动变换，以及我们的讨论中为何经常省略时空。

主动变换

主动变换是改变场在时空中的分布。以实标量场 𝜙 为例，记时空为流形 𝑀，则主动变换可以表示为

其中 𝜙′(𝑝′) =𝜙(𝑝)，即变换后场 𝜙′ 在 𝑝′ 点的值等于变换前场 𝜙 在 𝑝 点的值。 需要强调的是，在主动变换中，时空流形和其上的坐标都没有变，变换的是场的分布。 以洛伦兹变换为例，洛伦兹变换会使得 𝜙 ↦𝜙′，其中 𝜙′(𝑝′) =𝜙(𝑝)，且

这里非常容易混淆的一点是：在主动变换中，虽然形式特别像洛伦兹坐标变换，但这里实际上并不是坐标变换。而是描述了 𝑝′ 的坐标和 𝑝 的坐标之间的联系，这两点在变换前后的场值一致。 也就是说：这里的“洛伦兹变换”的作用对象是场分布，而非坐标系。

被动变换

被动变换是时空上的坐标系变换，它把时空中同一点的坐标由 𝑥𝜇 变成 𝑥′𝜇，即：

对于洛伦兹变换，其中

在被动变换中，时空和场分布都没有发生变化。被动变换是我们常说的“洛伦兹变换”。

主动变换与被动变换的对比

为了更好地比较主动变换与被动变换，我们在这里引入映射 𝑥

从而 𝑥𝜇 =𝑟𝜇 ∘𝑥。引入 ˜𝜙，使

即 𝜙 =˜𝜙 ∘𝑥 则主动变换可以写成：

引入

则分量式

可以写成

继续定义 ˜𝜙′ ∘𝑥 =𝜙′。 则有

略去 𝑝 和 ∼，并将映射的复合写作 𝛬𝑥，则可得到我们常见的表示：

如果记 𝛬−1 为 𝛬 的逆映射（此处不论证逆的存在性），则有：

因此

同样略去 𝑝 和 ∼，并将映射的复合写作 𝛬−1𝑥，则可得到我们常见的表示：

对于被动变换，由于变换前后时空和场分布都没有改变，因此：

坐标系发生了变换，也就是映射 𝑥 变成了 𝑥′，使得

定义

则

略去 𝑝 和复合号，则有：

由 𝑥′(𝑝) =𝛬 ∘𝑥(𝑝) 可得

因此

略去 𝑝 和复合号和 𝑥 的上标 ′，则有：

为何讨论时经常省略时空？

由于量子场论的背景时空是闵氏时空，其高度对称性使得时空的存在感不强：如果在对场分布施加某变换后，对坐标施加相应的变换，能够得到与变换前等价的结果。实际上，无论是场分布，还是坐标，都相对于时空发生了变化，只不过由于闵氏时空的对称性，这种变化无法显现出来。如果是任意时空，这种等价性就无法成立了。

闵氏时空中主、被动变换的等价性

在闵氏时空中，通过选取恰当的主、被动变换，能够使二者最终的效果一致：即相同时空坐标对应的场值一致，或者说用于描述场分布的以坐标为自变量的函数一样。

仍以洛伦兹变换为例，主动变换有：

被动变换有

因此

又

因此主动变换得到的场分布函数 ˜𝜙′ 和被动变换得到的场分布函数 ¯𝜙′ 在同一自变量处的值一致。以至于仅凭场分布函数无法判断其来自主动变换还是被动变换。

对于任意时空，主、被动变换一般是不等价的

对于任意时空，主动变换改变了时空点上的场分布，然而不同时空点上的曲率可能是不一致的，曲率让不同时空点具有差别，也就是主动变换会改变“曲率-场值”的对应关系； 而被动变换未改变时空和其上的场分布，因此不会改变“曲率-场值”的对应关系。 从以上视角，主、被动变换无法等价。